MATHEMATICS -- 黎曼猜想

Posted on October 31, 2020 (珠海)

数学界的三大高峰：欧拉、高斯和黎曼。其中，欧拉的数学技巧无与伦比；高斯的数学才能绝无仅有；而黎曼的数学灵感，足够让其他数学家忙碌几百年。简单的列一下：

$\zeta$ 函数 $\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots\\$

当定义域在实数的时候，欧拉证明：

黎曼把这个函数进行了 解析延拓 ，定义域扩展到了复平面。 $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}(\operatorname{Re}(s)>1)$ 只要 $s$ 的实部大于 1，就是收敛的。

令这个函数等于 0，求解： Obviously，当 $s$ 为负偶数时， $ζ(s)$ 为 0，这些零点被称为平凡零点， $ζ(s)$ 的其他零点被成为非平凡零点。

黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：黎曼 $\zeta$ 函数的非平凡零点实部均为 1/2。

数学中的皇冠 —— 数论 —— 2000 年来一直没有任何实际应用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次走出数学，走进了人们的生活中。

如果真的有神的话，那么数学就是神的语言。 心事浩茫连广宇，于无声处听惊雷。

大概讲的是，一个牛逼的函数，对于任意输入数字 $x$ ，可以直接算出小于 $x$ 的所有质数个数。

黎曼素数计数函数：

$J(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-\ln 2 +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}$

当代入的非平凡零点越多，越准确。

而黎曼猜想说的是，这些非平凡零点的所有实部都是 1/2。

严伯钧说：能完全理解黎曼猜想，至少是一个数学专业的博士生水平。一切的起点：欧拉乘积公式，对于全体质数的某种运算，可以转移成对于全体自然数的某种运算。

复数到复数的函数，四维空间才可以表示出来。 magnitude（幅度）表示大小，phase（相位）用颜色表示。

马同学

解析延拓

和密码学关系重大。

2023-03-11: review

参考资料快照

本文短链接：https://blog.hawkhai.com/t.htm?bb73e4ed
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