图像处理笔记 -- 数字图像处理 (DIP)
离散傅里叶变换 DFT 的计算
DFT 的计算 例：一维函数的四个采样值为 f(0)=2, f(1)=3, f(2)=f(3)=4。
好，我们 按标准 DFT 定义，完整、一步一步算一遍 这个例子。
一、已知条件（时域信号）
一维离散函数的 4 个采样点 ：
\[f(0)=2,\quad f(1)=3,\quad f(2)=4,\quad f(3)=4\]写成序列形式：
\[f[n] = [,2,;3,;4,;4,],\quad n=0,1,2,3\]二、4 点离散傅里叶变换（DFT）定义
\[F(k) = \sum_{n=0}^{3} f(n), e^{-j\frac{2\pi}{4}kn}, \quad k = 0,1,2,3\]记基本旋转因子：
\[W_4 = e^{-j\frac{2\pi}{4}} = e^{-j\frac{\pi}{2}} = -j\]三、逐项计算 DFT
1️⃣ (k = 0)（直流分量 DC）
\[\begin{aligned} F(0) &= 2 + 3 + 4 + 4 \ &= 13 \end{aligned}\]2️⃣ (k = 1)
\[F(1) = \sum_{n=0}^{3} f(n), W_4^{n}\] \[\begin{aligned} F(1) &= 2\cdot 1 * 3\cdot(-j) * 4\cdot(-1) * 4\cdot(j) \ &= 2 - 3j - 4 + 4j \ &= -2 + j \end{aligned}\]3️⃣ (k = 2)（Nyquist 频率）
\[W_4^{2n} = e^{-j\pi n} = (-1)^n\] \[\begin{aligned} F(2) &= 2 - 3 + 4 - 4 \ &= -1 \end{aligned}\]4️⃣ (k = 3)
\[W_4^{3n} = \overline{W_4^{n}}\] \[\begin{aligned} F(3) &= 2 + 3j - 4 - 4j \ &= -2 - j \end{aligned}\]（也可以直接由 实信号共轭对称性 得到 (F(3)=\overline{F(1)})）
四、最终 DFT 结果
\(\boxed{ F = [;13,; -2 + j,; -1,; -2 - j;\) } $$
五、结果的物理 / 频域含义
| k | F(k) | 含义 |
|---|---|---|
| 0 | 13 | 平均值（直流分量） |
| 1 | (-2 + j) | 低频分量 |
| 2 | (-1) | Nyquist 频率 |
| 3 | (-2 - j) | 与 k=1 对称的负频率 |
✔ 满足 实信号 DFT 的共轭对称性 ： \(F(3) = \overline{F(1)}\)
六、一句话总结（考试 / 板书版）
对序列 (f=[2,3,4,4]) 进行 4 点 DFT，可得 \(F(0)=13,\quad F(1)=-2+j,\quad F(2)=-1,\quad F(3)=-2-j\) 其中 (F(0)) 为直流分量，其余为不同离散频率的复幅值。
如果你需要，我也可以：
- 用 DFT 矩阵形式 重算一遍
- 或把这个例子改写成 标准“考研 / 信号与系统”答案格式
4 邻域均值低通滤波器的频域表示
利用像素点 $(x, y)$ 的 4 近领域（不包括该点）组成一个低通滤波器。 写出与它等价的频域滤波函数。
原始图像
\[f(x,y)\]滤波后的图像
\[g(x,y)\]用 4 个邻居平均
\[\boxed{ g(x,y) =\frac14\Big[ f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1) \Big] }\]傅里叶“平移公式”。如果 \(f(x,y) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(u,v)\)
那么 \(f(x+a,y+b) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(u,v)e^{j2\pi(\frac{au}{M}+\frac{bv}{N})}\)
对应到本题的 4 种情况：
| 空间域 | 频域 |
|---|---|
| $f(x+1,y)$ | $F(u,v)e^{j\frac{2\pi u}{M}}$ |
| $f(x-1,y)$ | $F(u,v)e^{-j\frac{2\pi u}{M}}$ |
| $f(x,y+1)$ | $F(u,v)e^{j\frac{2\pi v}{N}}$ |
| $f(x,y-1)$ | $F(u,v)e^{-j\frac{2\pi v}{N}}$ |
我们对 \(g(x,y) =\frac14[\cdots]\) 两边同时做傅里叶变换
左边：
\[g(x,y) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(u,v)\]右边（逐项变换）：
\[\begin{aligned} G(u,v) &=\frac14\Big[ F(u,v)e^{j\frac{2\pi u}{M}} +F(u,v)e^{-j\frac{2\pi u}{M}} \\ &\quad\quad +F(u,v)e^{j\frac{2\pi v}{N}} +F(u,v)e^{-j\frac{2\pi v}{N}} \Big] \end{aligned}\]把公共因子提出来， 你会发现 每一项都有 $F(u,v)$ ：
\[\begin{aligned} G(u,v) &=F(u,v)\cdot \frac14\Big( e^{j\frac{2\pi u}{M}} +e^{-j\frac{2\pi u}{M}} \\ &\quad\quad +e^{j\frac{2\pi v}{N}} +e^{-j\frac{2\pi v}{N}} \Big) \end{aligned}\]这一步的意义是：
\[\boxed{ G(u,v)=F(u,v)\cdot H(u,v) }\]括号里的东西，就是 频域滤波器 $H(u,v)$。
根据公式：
\[\boxed{ e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta }\]应用到这里：
\[\begin{aligned} H(u,v) &=\frac14\Big( 2\cos\frac{2\pi u}{M} +2\cos\frac{2\pi v}{N} \Big) \\ &=\boxed{ \frac12\Big( \cos\frac{2\pi u}{M} +\cos\frac{2\pi v}{N} \Big) } \end{aligned}\]最终答案
\[\boxed{ H(u,v)=\frac12\left( \cos\frac{2\pi u}{M} +\cos\frac{2\pi v}{N} \right) }\]并且
\[\boxed{ G(u,v)=F(u,v) H(u,v) }\]色彩模型
面向设备的色彩模型 RGB CMYK
面向色彩感知的色彩模型 HSI LAB
RGB 模型 —— 面向输出显示设备
RGB 模型是基于仿生学原理，人的视网膜有三种细胞，分别对红、绿、蓝三种颜色敏感（其中绿色最敏感）。这三种颜色的光通过相加，可以混合出绝大部分肉眼能看到的颜色。 使用最广泛的色彩模型。非常适合在输出显示场合使用，如彩色电视机的显像管、计算机的显示器。
国际照度委员会规定 3 种基本色的波长为 R:700nm，G:546.1nm，B:435.8nm。
CMYK 模型 —— 面向输出印刷设备
CMYK 色彩系统是一种用于印刷的模式，分别是指青（Cyan）、品红（Magenta）、黄（Yellow）和黑（Black）。
CMYK 模式在本质上与 RGB 颜色模式没有什么区别，只是产生色彩的原理不同。RGB 颜色合成是通过颜色相加。而 CMYK 是通过颜色相减产生其它颜色。 RGB 与 CMYK 没有一一对应的转换关系，转换过程会与显示器设置、印刷油墨设置以及分色设置有关。
在处理图像时，一般不采用 CMYK 模式，因为：①这种模式的图像文件占用的存储空间较大；②色域范围比 RGB 小得多。
亮度
亮度表示某种颜色在人眼视觉上引起的明暗程度，它由光的强度（能量）决定：光的强亮越大，景物就越亮；光的强度越小，景物就越暗。
对于灰度图象而言，亮度就是图像的灰度值。
色调
色调（色相）表示光的颜色，它由光的波长决定。例如自然界中的七色光就分别对应着不同的色调，每种色调分别对应着不同的波长。
在通常的使用中，色调是由颜色名称标识的，比如红、橙或绿色。
饱和度
饱和度指颜色的纯度（鲜艳程度），它由主波长的纯光谱色与白光的比例决定，也就是说，夹杂白光的多少。越接近光谱色、白光比例越小，则饱和度越高，色彩越鲜艳醒目；距离光谱色越远、白光比例越大，饱和度越低，色彩越平淡晦暗，越不鲜艳。 如对白光来讲，它的色饱和度为 0（没有色彩），纯色的色饱和度是 100%，指该彩色中不含白光。
HSI 色彩模型
最直观的色彩描述方法。用色调（Hue）、色饱和度（Saturation）和亮度（Intensity）来描述色彩。它与人类颜色视觉感知非常接近，但独立于设备（设备造不出来，仅存在于软件中）。
这个模型有两个特点：I 分量与图像的彩色信息无关；其二，H 和 S 分量与人感受颜色的方式是紧密相连的。这些特点使得 HSI 模型比 RGB 色彩空间更符合人的视觉特性，非常适合于借助人的视觉系统来感知彩色特性的图像处理算法。
LAB 色彩模型
一种能够描述颜色感觉的标准语言，能够用数学方法唯一精确定义颜色刺激所产生的感觉，这种模型就是 LAB 模型。
L 表示亮度，A 赋予了从红到绿的所有颜色，B 赋予了从黄到蓝的所有颜色，该模型覆盖了全部的可见光色谱。
该模型与设备无关（仅存在于数学 / 软件中）。 没有提供直接显示的格式，必须要转换到其它色彩空间来显示。
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