MATHEMATICS -- 三次数学危机
数学危机
数学危机在历史上发生过三次，每一次均对数学的发展有重大影响。在第一次数学危机中，因为发现腰长为 1 的等腰直角三角形的斜边长度无法写成有理数，从而引申出日后的无理数概念。第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的问题。第三次数学危机则是因罗素悖论而起，它点出朴素集合论中的缺失。
第一次数学危机
第一次数学危机起因于无理数 ${\sqrt {2}}$ 的发现，它的发生使人们对数的认识更进一步。
第二次数学危机
无穷小量。微积分的奠基人 —— 牛顿、莱布尼兹、欧拉，以及很多其他人 —— 以一种不严格的方式使用无穷小量，却也能得到正确而深刻的结果（类似地，实数在当时也没有正式的定义）。
\[\lim_{n\to \infty} a_n = 0\]19 世纪 A.L 柯西、K. 魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。A. 鲁宾孙于 1960 年代创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，为无穷小量提供了另一套严格表述。
第三次数学危机
罗素悖论（英语：Russell's paradox）是英国哲学家罗素于 1901 年提出的悖论，一个关于类的内涵问题；理发师悖论常被用作通俗类比，但二者不能严格等同。
罗素悖论：设有一性质 $P$，并立以一性质函数：$P(x)$，且其中的自变量 $x$ 有此特性：$x\not \in x$，现假设由性质 $P$ 能够确定一个满足性质 $P$ 的集合 $A$ —— 也就是说 \(A=\{x \mid x \notin x\}\)。那么现在的问题是 $A\in A$ 是否成立？
首先，若 $A\in A$，则 $A$ 是 $A$ 的元素，那么 $A$ 具有性质 $P$，由性质函数 $P$ 可以得知 $A\not \in A$；其次，若 $A\not \in A$，根据定义， $A$ 是由所有满足性质 $P$ 的类组成，也就是说，$A$ 具有性质 $P$，所以 $A\in A$。
现代公理化集合论（如 ZFC）通过限制集合构造规则规避了这类矛盾；但关于数学基础应如何理解，仍有形式主义、逻辑主义、直觉主义等不同哲学立场。
数学基础
The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences
参考
- [1] 维基百科 · 数学危机
参考资料快照
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