MATHEMATICS -- Gabriel 喇叭，有限的体积无穷的表面积
Gabriel 喇叭
Gabriel 喇叭是 $y=1/x$ 在 $[1, +∞)$ 上的图象沿 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体。这个简单的三维图形有一个奇特的性质：它的表面积无穷大，却只有有限的体积。为了证实这一点，只需注意到：
Gabriel 喇叭会导出一个非常诡异的悖论：如果你想用涂料把 Gabriel 喇叭的表面刷一遍，你需要无穷多的涂料；然而把涂料倒进 Gabriel 喇叭填满整个内部空间，所需要的涂料反而是有限的。
数学过程
双曲线 $1/x$
我们选择右侧部分（以避免 $x=0$ 处的不连续性）并绘制从 $x=1$ 开始的图。我们考虑虚线右侧，曲线下方和 $x$ 上方的（无限）阴影区域。
我们围绕 $x$ 轴在 $3$ 维上旋转该区域，最后得到一个（无限长的）类似角的对象。
我们使用旋转体的体积公式（最基本的体积计算公式，一定要理解）
由此得到如下结果
随着 $b$ 越来越大，答案中的最终分数也越来越小，因此体积为有限量 $π$，用数学符号表示为：
接下来，让我们考虑喇叭的表面积，旋转体的表面积计算公式为：
在这种情况下，我们有：
如果我们考虑分数的值，当 $x$ 变得非常大时，我们可以看到它会非常接近 $1/x$（但会比它大一点）
因此我们可以得出以下结论：
现在，随着 $b$ 越来越大，这个数量也越来越大。即，它是无限大的数量。
这是我们的两个解决方案的图，粉红色是体积 $V=π(1-1/b)$，绿色是表面积 $SA=2πln(b)$。我们可以看到体积趋向于极限 $π$，而表面积却不断增大。
todo
好多物理定律其实完全是由思维实验推导出来的，难以置信仅仅是思考竟然就能得出物理世界遵从的各种法则。经典的物理思维实验有 Newton 大炮、Galileo 斜塔实验、Schrödinger 的猫猫、Maxwell 的妖怪等等。还有，Turing 机也是一个伟大的思维实验。
参考
- [1] http://www.matrix67.com/blog/archives/773
- [2] 维基百科 · 加百列的号角
- [3] https://baijiahao.baidu.com/s?id=1660502466103090640
参考资料快照
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